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年金的現(xiàn)值和終值公式推導(dǎo)

來源：東奧會(huì)計(jì)在線責(zé)編：劉佳慧 2024-11-08 17:42:03

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2026-03-12 03:48:21

年金終值公式推導(dǎo)

年金終值是指在一定的時(shí)間周期內(nèi)每年定期投資一定金額后，計(jì)算出該周期結(jié)束后的投資總額。

假設(shè)每年支付的金額為PMT，年利率為r，投資期限為n年。第一年結(jié)束時(shí)，將收到PMT元錢，將其投資，可以得到PMT×(1+r)元錢。第二年結(jié)束時(shí)，將再次收到PMT元錢，將其投資，可以得到PMT×(1+r)n元錢。

因此，年金終值FV為：

FV=PMT×(1+r)(n-1)+...+PMT×(1+r)

上述公式是一個(gè)等比數(shù)列的和，其首項(xiàng)為PMT，公比為(1+r)，項(xiàng)數(shù)為n。利用等比數(shù)列求和公式，可以將其化簡(jiǎn)為：

FV=PMT×(((1+r)^n)-1)÷r

年金現(xiàn)值公式推導(dǎo)

年金現(xiàn)值是指將未來一段時(shí)間內(nèi)的一系列現(xiàn)金流折算成當(dāng)前時(shí)點(diǎn)的價(jià)值。

年金現(xiàn)值公式可以由年金終值公式推導(dǎo)出來。假設(shè)現(xiàn)在的時(shí)點(diǎn)為0，未來的n個(gè)時(shí)點(diǎn)分別為1，2，...，n。年金終值FV是在n時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值，而年金現(xiàn)值PV是在0時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值。

根據(jù)復(fù)利公式，n時(shí)點(diǎn)上的1元錢在0時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值為(1+r)^(-n)。因此，n時(shí)點(diǎn)上的PMT元錢在0時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值為PMT×(1+r)^(-n)。同理，n-1時(shí)點(diǎn)上的PMT元錢在0時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值為PMT×(1+r)^(-(n-1))，以此類推。

因此，年金現(xiàn)值PV為：

PV=PMT×(1+r)^(-n)+PMT×(1+r)^(-(n-1))+...+PMT×(1+r)^(-1)

上述公式同樣是一個(gè)等比數(shù)列的和，其首項(xiàng)為PMT×(1+r)(-1)，項(xiàng)數(shù)為n。但注意到這里的等比數(shù)列是遞減的，所以求和時(shí)需要稍作調(diào)整。將其化簡(jiǎn)后得到：

PV=PMT×((1-(1+r)^(-n))÷r)

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