年金現值終值計算公式推導
精選回答
一.年金現值計算公式的推導
年金現值是將未來一定時期內每期期末收入或支付的相等金額折算到第一期期初的現值之和。
設每年的支付金額為A，利率為i，期數為n，則年金現值P的公式為：
P=A×(P/A，i，n)
其中，(P/A，i，n)為年金現值系數，其推導過程如下：
年金現值PA的表達式為：
PA=A/(1+i)+A/(1+i)^2+A/(1+i)^3+…+A/(1+i)^n①
將等式兩邊同時乘以(1+i)，得到：
PA(1+i)=A+A/(1+i)+A/(1+i)^2+A/(1+i)^3+…+A/(1+i)^(n-1)②
用②式減去①式，得到：
PA(1+i)-PA=A-A/(1+i)^n
即：
PA×i=A-A/(1+i)^n
整理后得到：
PA=A[1-1/(1+i)^n]/i
因此，年金現值系數(P/A，i，n)的公式為：
(P/A，i，n)=[1-1/(1+i)^n]/i
二.年金終值計算公式的推導
年金終值是按復利換算到最后一期期末的終值之和。
設每年的支付金額為A，利率為i，期數為n，則年金終值F的公式為：
F=A+A(1+i)+A(1+i)(n-1)①
將等式兩邊同時乘以(1+i)，得到：
F(1+i)=A(1+i)+A(1+i)n②
用②式減去①式，得到：
F(1+i)-F=A(1+i)^n-A
即：
F×i=A(1+i)^n-A
整理后得到：
F=A[(1+i)^n-1]/i
這個公式就是年金終值的計算公式，其中[(1+i)^n-1]/i為年金終值系數，記作(F/A，i，n)。
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